Si el muelle real es nuevo supongo que está enfajado con la medido correcta, unas décimas menos que el diámetro del barrilete. Instalarlo es fácil, mételo en el barrilete, debería entrar fácil pero con poca holgura. Empuja fuerte con algo plano y el muelle se desliza dentro dejando fuera el alambre que lo sujeta.
Solo hay que tener cuidado de introducirlo en el sentido de giro correcto. Fíjate que la pared del barrilete tiene alguna pestaña para que se enganche la brida exterior. También puedes comprobar que el diente del eje central coincide con el ojal del muelle.
No encuentro videos de esta operación pero es fácil y no necesita estapada.
Si el muelle no entra en el barrilete es que lo has comprado grande. No deberías poner un muelle más grande del adecuado por que reducirá el espacio libre para enrollar el muelle y perdeas reserva de cuerda. También sera más fuerte y corre peligro de romper algún diente del barrilete.
Si aún así quieres desenrrollarlo y volver a enrollarlo a mano te recomiendo este video. Es fácil hacelo sin estrapada. Ojo, siempre usa gafas de protección. Por fácil que sea de vez en cuando se escapa y un muelle real a la fuga es un peligro para los ojos.